En mi AC tengo un regulador dual como el tuyo y tenía un problema parecido. Si quieres saber si cuando cortas la centralita te sigue cargando, puedes comprobarlo del siguiente modo (siempre que tengas luz suficiente para que la placa esté mandando suficiente energía):
Pones un polímetro en las conexiones (positivo y negativo) de bateria 1 del regulador (dices que las conexiones de la segunda batería están libres): con la centralita encendida te debiera marcar unos 13,8 Voltios o más. Si cortas la centralita y la carga continúa, el voltaje no debiera bajar. Si no tienes voltaje, efectivamente, el interruptor de la centralita corta el regulador.
Si conectas el regulador directo a las baterías, siendo de 20 A, como mucho daría esa corriente a una de las baterías, suponiendo que la otra esté cargada (por defecto reparte la carga al 50%). Y una placa de 120 W te daría a pleno rendimiento 10A. Por lo que pienso que un fusible de 20 - 25 A en la conexión del positivo a cada batería sería adecuado.
No creo que deba unirse la segunda bateria del regulador dual a la salida de carga del cargador de 220 V. Cuando se conecta a 220V, asi como cuando se arranca el motor y se cargan las baterías al alternador, ambas, vivienda y motor, se acoplan con el relé que las une (en tu caso, la del motor, a las dos en paralelo de la vivienda), de modo que pierdes la ventaja del cargador solar dual, que te gestiona separadamente la carga de ambas baterías /grupos de baterías.
Cuando el motor está cortado y no estás conectado a 220V externos, el relé debería mantener separados ambos grupos de baterias: motor y vivienda. Y entonces el regulador solar va a recargar a cada batería / grupo de baterías de forma independiente según su estado de carga, que es lo que precisamente permite.
Espero haberte ayudado y ruego a otros miembros del foro con más experiencia y conocimientos que yo en estos temas que corrijan lo que consideren equivocado. Gracias.