No conozco las áreas de Madrid porque vivo aquí, pero sí os puedo decir que desde Pinto hay una tiradita al centro, entre tren y metro podéis tener una hora de desplazamiento a según qué zonas (centro-centro, por ejemplo; porque Atocha sólo es "medio-centro"). Valdebernardo no es que esté cerca pero al menos coges directamente el metro, lo que ya te reduce el desplazamiento casi a la mitad de tiempo.
Pero he echado un vistazo a lo que hay en Valdebernardo, y si esa zona se ha puesto chunga, podéis encontrar montones de parkings similares en todo el extrarradio de Madrid. Cualquier centro comercial con metro cerca os vale, porque el de Valdebernardo no es más que eso, el parking de un centro comercial.
Dentro de lo gratuito, no veo mucha alternativa, excepto aparcar en alquna calle tranquila cercana al metro y fuera del anillo de la M30 para evitar la zona azul. Zonas residenciales de la periferia, por ejemplo.
Pero si estáis dispuestos a pagar un poco y a cambio tener más tranquilidad y buena ubicación, el camping Osuna es muy buena opción, con boca de metro casi en la puerta, autobuses, etc, casi en pleno casco urbano. No tiene pinta desde fuera de ser un camping espléndido, pero he leído que tampoco está mal. Y accedes directo a la línea 5 de metro, que te lleva directo, sin transbordos, al pleno centro (Callao, Gran Vía, Ópera... Sol lo recomendaría andando desde Callao, sin necesidad de cambiar de línea, tardas casi lo mismo)
Y ves el parque del Capricho, que es una joyita desconocida incluso para la mayor parte de los madrileños